高数第三章

微分中值定理与导数的应用

一·微分中值定理
㈠罗尔定理：
　　内容：f(x)在闭区间上连续，在开区间上可导，且在区间端点处函数值相同。
　　则f(x)在该区间内至少存在一点，该点的导数值为0。
　　
　　如果是考研题的话，一般需要构造辅助函数来寻找f(x)。

P182第六题

㈡拉格朗日中值定理
　　内容：f(x)在闭区间上连续，在开区间上可导，
　　则在该区间内至少存在一点使
　　f(b)-f(a)=f’(θ)(b-a)成立。（可以变形）
　　可以理解为：在区间内存在一点，该点的斜率与两端点连线斜率相同。

P182页最上面第一小题，课后第十小题

㈢柯西中值定理（参数方程下的拉格朗日）
　　内容：f(x),F(x)在闭区间连续，开区间可导，且F’(x)≠0
　　则存在
　　　
成立

三大定理用法比较多。知道定理就好，不变应万变。

二·==洛必达法则==
㈠两种未定式情况：零比零型（将趋近值带入，分子分母都为0），无穷比无穷型。
在这两种情况下，分子分母可以同时求导，如得不出答案，还可以继续求导，直至得到结果

例二，例三，例五

㈡做题过程中可能会遇见其他情况的未定式需进行变形：

碰上这几种未定式都依次进行转换，转变成那两种基本类型。（通分，取对数没啥讲的，取倒是将其中一个值变成它分之一，然后移到分母上。因为无穷大与无穷小互为倒数）无穷小为为0

例7,8,9

㈢课后第二题，不能用洛必达的情况（虽然是无穷比无穷):
　导之后分子分母极限都存在或都为无穷的情况才能用洛必达。若不存在就不能用洛必达定理(一般情况不会遇见)

三·泰勒公式
　　本科阶段对其要求不高，考研阶段经常用。
　　须记住几个常见的：
　　

四·单调性与凹凸性
㈠单调性：（用一阶导函数判）
　　一阶导函数：大于0的为增函数，小于0的为减函数。【一阶导为0的点称为驻点】
　　
㈡凹凸性：（用二阶导函数判）
　　二阶导函数：大于0的为凹函数，小于0的为凸函数，（记不住的话，考试的时候可以用个简单的抛物线心算一下）【二阶导为0的点称为拐点。它是一个点，不是横坐标】
　　补：瑕点：简单来说就是求极限时使分母为0的点

五·极值最值
==极值求法：==
利用一阶导：高中应该学过吧

利用二阶导：首先函数得有二阶导，且一阶导为0，则当二阶导小于零时为在该点取极大值，反之为极小值

　利用n阶导：课本p161页第四题（表达非常清晰，不再打了）